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By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend battle, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre conflict, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, used to be diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem development zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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X 0 0 f ür all e Wir woll e n nun e ine n Zusa mme nha ng zw i schen den Kongr uenzre l a ti one n e i ner Algebr a und ihren sog enan nten homomorphe n Bilde rn aufzeigen . Zum Begriff "Homomo rp hi smus" br i ngen wir zunäch st e i n Be i s p i e l: Se ie n und zwe i A1 ge br en vom Typ (2 ,1, 0) , we lche wie folg t er kl ä r t s ind: M = {a, b, c}, W = {t , u , v, w} , und für die ein zel ne n Opera t ionen gel te °1 a b c a a b c b b b c c c c c °2(a ) = c a ° 2 ( b) a ° 2( c ) c ° 3( 0 ) *1 t u v w t t u v w u u u w w v v w v w w w w w w *2(t ) *2 ( u) *2(v) *2 (w) *3(0) =w =v =w t =w Fer ner se i e ine Ab bild ung h:M--W definier t, f ür wel ch e ge l te: h( a ) h( b) = w und h(c) = w.

Da jede Kl a s s e von K als Bild unter 6 auftritt. ist 6 surjektiv. und wegen wr # w2 .. 6(Wr ) = U(w r) # U(w 2) = 6(W 2) ist 6 auch injektiv. Ist *v e ine Operation von W der Stelligkeit nv>O. so gilt. w 2 •.. X 2 •. X n ) Ist *v 6(*v(ß)) = eine nullstellige Operation. so erhalten wir: = U(*v(ß)) = U(h(ov(ß))) = ~ = 0v(ß). ) Also ist 6 ein Isomorphismus von W auf M/0 K. Beac~ten wir. daß mit jedem Isomorphismus ~ einer Algebra A auf eine Algebra B die Umkehrabbildung von ~ ein Isomorphismus von B auf A ist (d ies folgt unmittelbar aus der Definit ion des Isomorphismus).

35 4. EIN BEISPIEL AUS DER VERKEHRSPLANUNG Wir behandeln das Problem der Auswah l v on Pha s en an durch Verkeh rsampeln gere gelten Kreuzungen (vgl. hierzu [lB1,[371) . An Straßenkreuzungen treffen mehrere "Verkehrsströme" zusammen, die zum Teil gleichzeitig fließen können ("miteinander verträglich" sind) oder e inander gegenseitig beh indern. 1 ist eine Kreuzung wiedergegeben, bei der die Verkehrsströme 1 und 4 miteinander ve rträglich sind, wohingegen für 1 und 5 dies nicht de r Fall i s t .

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